Tweet

Rekenen aan de snaartheorie met nieuwe Lie-groep kaart /3 reacties

Wiskundigen en natuurkundigen die zoeken naar dé allesverbindende theorie van ruimte, tijd en massa hebben nu een nieuw stuk gereedschap gekregen: een kaart die één van de raarste en ingewikkeldste dingen uit de wiskunde weergeeft: de ‘Lie-groep’ E8.

Lie-groep?

Een Lie-groep is een verzameling wiskundige beschrijvingen van de symmetrie van een glad object. De Lie-groep van een bol bijvoorbeeld, beschrijft alle wiskundige ‘operaties’ die op een bol kunnen worden uitgevoerd zonder dat zijn vorm wordt aangetast. Operaties zoals spiegeling of rotatie.

Er zijn oneindig veel duidelijk gedefinieerde Lie-groepen, net zoals er oneindig veel definieerbare vormen met symmetrie zijn. Hol, bol, met vouwen, ribbels en vierkanten, ook met meer dan 3 dimensies. Maar er zijn ook 5 rare snuiters bij, rare Lie-groepen die nergens op lijken. E8 is er zoéén, ontdekt in 1887.

E8 is heel raar. Het geeft de symmetrieregels van een glad object met 57 dimensies. Maar zelf heeft E8 248 dimensies! Snaartheoretici gebruiken het product van E8 (E8xE8) voor fundamenteel onderzoek in de theoretische natuurkunde. Hermann Nicolai van het Max Planck Instituut voor Zwaartekracht-Natuurkunde in Potsdam, zegt dan ook: “E8 is misschien wel de mooiste structuur uit de wiskunde. Maar hij is wel zeer complex…”

Snaartheorie, de theorie van álles?

Er zijn twee theoriën in de natuurkunde die nog niet met elkaar in verband zijn gebracht. De ene theorie is de theorie die drie fundamentele natuurkrachten beschrijft: de elektromagnetische kracht, de sterke en de zwakke kernkracht. Deze theorie heet quantummechanica. De andere theorie beschrijft de vierde fundamentele natuurkracht: de zwaartekracht. Dit is de relativiteitstheorie. Als de quantummechanica en de relativiteitstheorie met elkaar verbonden kunnen worden levert dat een theorie op die álles kan beschrijven. Momenteel denken natuurkundigen dit te bereiken met de snaartheorie.De snaartheorie werkt met meerdere dimensies, op het quantumniveau zijn dat er wel 11. Daar hoort ook een wiskunde bij die met meerdere dimensies werkt. Momenteel zijn er 5 manieren om de snaartheorie wiskundig te benaderen, de wiskunde van E8xE8 is daar één van.

Afgelopen maandag, 19 maart 2007, is de E8-kaart gepresenteerd op het Amerikaanse Instituut voor Wiskunde. Na 4 jaar hard werken is het gelukt E8 weer te geven in een matrix van 453.060 x 453.060 cellen.

Het maken van deze kaart, nam 77 uur op een supercomputer met de naam Sage. Er zitten meer dan 205 miljoen gegevens in. “Deze hangen allemaal samen op een intrinsieke en complexe manier,” zegt Jeffrey Adams, de projectleider en wiskundige aan de Universiteit van Maryland.
Het internationale team van Adams heeft zich twee jaar het hoofd gebroken hoe ze de berekeningen konden uitvoeren zonder de computer te overbelasten. Zelfs het werkgeheugen van een supercomputer is beperkt. Daarna was het een kwestie van code schrijven en de kaart testen op verschillende manieren om er zeker van te zijn dat in elke ‘richting’ het juiste wiskundige antwoord werd teruggegeven.

Het eindresultaat is een database van 60 gigabyte die makkelijk gebruikt kan worden. Hij zal worden opgenomen in de Atlas van Lie Groepen en Representaties.

Alle berekeningen waren mogelijk

Adams: “In principe waren alle berekeningen aan de kaart mogelijk, dat wisten we. Maar het leek werkelijk hopeloos om het in de praktijk uit te voeren. We zijn nu 4 jaar bezig geweest en we denken dat het gelukt is. Maar 100% zekerheid krijg je nooit.”

Zijn enigszins exentrieke collega Stewart van de universiteit van het Engelse Warwick zegt: ”Het is denk ik één van de meest gecompliceerde puur wiskundige berekeningen die uit zijn uitgevoerd. Elk tussenresultaat is moeilijk te berekenen. Het is fantastisch dat het ze gelukt is.”

Behalve bij wiskundigen is E8 ook bekend bij natuurkundigen. Zij hebben misschien nog wel het meeste nut van de nieuwe kaart. De wiskunde over symmetrie vormt namelijk de basis van zowel de relativiteitstheorie als van de quantummechanica. Snaar-theoretici proberen die twee velden te verenigen en zoeken daarvoor een symmetrietype dat hen een handvat geeft om grip te krijgen op de extra dimensies die hun modellen genereren.

Dat is precies waar E8 bij kan helpen. Of nog beter: waar een bedienbare weergave van E8 bij kan helpen. Een raar stuk wiskunde dat symmetrieregels geeft voor meerdere dimensies en zelf opereert in de 248e dimensie, dat kon wel eens het bijzonder soort wiskunde zijn dat nodig is voor de ultieme theorie van tijd, ruimte en massa.